数量曲率的发展方程（Evolution equation for the scalar curvature）

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+2|\text{Ric}|^2
\]

当 $n=2$ 时, $\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{2}g$. 这是显然的, 因为根据

\[\text{Ric}(v,v)=\sum_{i=2}^{n}\text{sec}(v,e_i),\]

这里 $\{v,e_2,\ldots,e_n\}$ 是 $T_p M$ 的标准正交基. 可得

\[\text{Ric}(e_1,e_1)=\text{sec}(e_1,e_2)=\text{sec}(e_2,e_1)=\text{Ric}(e_2,e_2).\]

因此, $\text{scal}=\text{Ric}(e_1,e_1)+\text{Ric}(e_2,e_2)=2\text{Ric}(e_i,e_i)$, 故

$\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{2}g$.

因此, 此时的数量曲率发展方程为

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+R^2
\]

Remark:

这是一个热方程, 基本工具是极大值原理.

References:

Bennett Chow, Peng Lu & Lei Ni, Hamilton\'s Ricci Flow, Lectures in Contemporary Mathematics 3.